Цитата:от:OlegV
Опять 'не читал, но осуждаю' :D Прочитайте наконец теорему - там дана формула для восстановления сигнала, а то я уже начинаю сомневаться, что мы с вами вместе учились во вхутемасе.Подробнее
теорему Котельникова-Найквиста я помню наизусть, благо пользуюсь регулярно.
в данный момент - чтобы проверить не забыл ли я чего - передо мной раскрыта книжка с доказательством оной.
так вот. формулировка по ссылке - скажем так, не вполне полная и несколько вольная (и тем более последующие выводы из нее).
восстановить исходный сигнал по дискретным отсчетам при частоет дискретизмации равной 2*Fmax может только чистый математик, рассматривающий сферическую лошадь в вакууме и заранее знающий, какой сигнал он хочет восстаналивать (а зачем тогда его восстаналивать если он заранее известен?).
поясняю - сперва "на пальцах".
берем простую гармоническое колебание. синусоиду частотой F
и пытаемся записать ее дискретными выборками частотой 2F.
Выборки будем делать вполне себе реальными прямоугольными импульсами конечной длины и амплитуды. Которыми мы на самом деле будем оцировывать сигнал (что в природе и происходит). "На выходе" это повлияет только на то, что на "восстановленный" сигнал в пространстве "частота-амплитуда" будет наложена некая огибающая известной формы.
Для простоты - возьмем импульсы длительностью полпериода синусоиды (частота как раз 2F, да?). И вот случилось так, что по фазе наши импульсы дискретизации попали ровненько так, что начало импульса приходится как раз на максимум дикретизируемой синусоиды. А конец - на минимум. А начало следующего - на этот самый минимум, а конец - на максимум (собственно, ровно картинка "наложения" пикселей на линии миры - в ситуаци, когда край пиксела попал на середину линии миры). Что мы получим на выходе? А ничего интересного - равномерный уровень сигнала ("равномерно-серую картинку" при фотографировании пикселями миры).
И как нам, глядя на этот равномерный уровень понять, что мы цифровали одинкую синусоиду? А никак.
Теперь возвращаемся в пространство чистой математики. Которая утверждает, что для восстановления сигнала достаточно иметь частоту дискретизации в 2*Fmax. Как нам соотнести это утверждение с только что полученной равномерно серой картинкой и понять кто тут врет?
А очень просто - никто не врет.
Если таки читать не вольную формулировку теоремы о выборках, но и все доказательство (к сожалению, привести его здесь затрудниетльно по техническим причинам), то становится видно, что "восстановленный" из дискретных выборок сигнал имеет бесконечный спектр. Который непрерывно повторяет спектр исходного сигнала c периодичностью в половину частоты дискретизации.
То есть - если мы дискретизировали сигнал с частотой Fa, то после обратного преобразования - получим (в прострастве амплитуда-частота, в правой полуплоскости):
1. Исходный спектр сигнала в диапазоне от 0 до Fa/2
2. Зеркальное отражение спектра исходного сигнала в диапазоне от Fa/2 до Fa
3. Исходный спектр сигнала в диапазоне от Fa до 3/2*Fa
4. Зеркальное отражение спектра исходного сигнала в диапазоне от 3/2*Fa до 2*Fa
5 Исходный спектр сигнала...
....
далее до бесконечности.
все что нам после этого надо - обрезать всё, что получится, выше Fmax исходного спектра, и получить наш сигнал.
А в описанном случае - Fmax совпадает с Fa/2 и мы получаем стоящи еплечом к плечу целые гармоники исходной синусоиды, бесконечная сумма которых и дает нам непрерывный постоянный сигнал в амплитудно-временном представлении (или амплитудно-простраственном если мы про фотографировании миры).
Выделить из этого сигнала синусоиду заранее известной частоты - раз плюнуть... Раз мы знаем ее частоты - то вот она наша синусоида.
И никакого противоречия равномерно-серого кадра с теоремой о выборках. Наша мира с частотй линий, вдое меньшей, чем плотность пикселей - она там, в этот равномерно-сером кадре. Из того факта, что мы ее не видим и теоремы о выборках - можно умозаключить, что она была частотой ровно двое меньше частоты пикселей.
Мы просто попали на "предельный случай", когда математика честно работает и дает нам понять - вот он она, твоя мира, на этом равномерно сером фоне... Внутри спряталась. Среди всех гармоник, получившихся после ее восстановления. Накладывай фильтр с соотвествующей частотой - и получай свою миру.
Но нам бы увидеь ее хотелось бы, а не умозаключать... И не накладывать фильтр с изветной частотой, а наоборот - определить какая частота у сигнала все-таки была верхней. А тогда будьте добры взять дискретизацию с заведомым запасом. Хоть маленько, а больше, чем 2*F. Ну больше мы можем взять только на один пиксель. Вот и надо 3 пикселя на линию. Чтобы линию было все-таки видно. И можно было на промежутках между N*Fa/2 разглядеть где кончается один "клон" спектра исходного сигнала и начинается другой.
P.S. к слову о цитированной формулировке теоремы о выборках. там есть такой интересный пассаж:
Цитата:
Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота fв = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fΔ і 6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным. Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигналаПодробнее
смеялся я долго. ибо почему-то все телефонисты, принимая полосу звукового сигнала в 200-3400 Гц, как последние идиоты дискретизируют его с частотой 8 КГц. А отнюдь не 6.8, как рекомендуют авторы цитированного текста. Хотя самое дорогое на свете у телефонистов - это емкость линий. И повысить ее на целых 15% задарма - ни один телефонист не отказался бы. Однако - нельзя. Слишком сильное искажение реального сигнала в результате получится. Не взирая на теорему :-) (теорема-то для идеальной дискретизации дельта-импульсами, а практика - она грубая и конечная во времени и амплитуде импульса... которая конечность дает наложенную на исходный спектр огибающую - математик может ее рассчитать и скомпенсировать, а вот в реальной жизни хреновато получается).
Надо будет ссылку сохранить и давать при подобных вопросах...
