Получение формулы для решения
Формулу можно получить следующим образом:
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx = − c
Умножаем каждую часть на 4a и прибавляем b2:
4a2x2 + 4abx + b2 = − 4ac + b2
(2ax + b)2 = − 4ac + b2
Уравнение с вещественными коэффициентами
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:
при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
(1)
при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
Приведённое квадратное уравнение
Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
Мнемонические правила
Из «Радионяни»:
«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q.
Из «Радионяни» (другой вариант):
p, со знаком взяв обратным,
на два мы его разделим,
и от корня аккуратно
знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
половина p в квадрате
минус q — и вот решенья,
то есть корни уравненья.
Уравнение с комплексными коэффициентами
В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).
Теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0):
Разложение квадратного уравнения на множители
Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле
В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному. В общем случае оно решается заменой c последующим решением квадратного уравнения.
Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений и
Если f(x) = x2, то уравнение принимает вид:
ax4 + bx2 + c = 0
