Упростил задачу по глубине резкости

с подачи ув. miope сделал вывод, хорошо бы, чтобы он посмотрел. Значительная часть рассуждений - цитаты из его постов.


Итак, задача. Имеется макрообъектив, который может быть использован на разных аппаратах. И есть два аппарата – один например полнокадровый, второй кроп с кропфактором Kr. Снимаем объект на оба аппарата так, чтобы он занял весь кадр (во втором случае масштаб будет меньше), затем увеличиваем изображения до одного формата (техническую составляющую оставим в стороне). Будет ли на кроп-снимках больше глубина резкости?

Если мы сфокусировались на расстояние L от линзы (от передней главной плоскости, если быть точным; чтобы не усложнять, будем считать объектив тонкой линзой), то точечный объект, расположенный на расстоянии R, не равном L, будет изображен на пленке в виде пятнышка диаметром

d = D * ((L - R)/R) * (f/(L - f))

где D - диаметр линзы, а f - ее фокусное расстояние.

(R, видимо, ближе к объективу, чем L). Для упрощения вывода назовём расстояние (L-R) буковкой r. Это расстояние точечного объекта (например, лапка жучка) от точки фокусировки (его же, например, башочка).

С r формула получит следующий вид:

d = D * (r/(L - r)) * (f/(L - f))


Избавимся от фокусного расстояния в формуле. Отношение размера изображения к размеру объекта (масштаб) равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до объекта. Объект находится на расстоянии L, изображение, стало быть, на расстоянии 1/(1/f - 1/L). Делим одно на другое, получаем:

m = (1/(1/f - 1/L))/L = f/(L - f).

Теперь мы можем несколько упростить нашу формулу для расчета размера кружка нерезкости:

d = D * ((L - R)/R) * m

или (для расстояния точечного объекта от точки фокусировки – r)

d = D * (r/(L – r)) * m

Уже из этой формулы видно, что при изменении размера изображения будут меняться два параметра – масштаб m уменьшится пропорционально кропу, а L – расстояние до объекта – увеличится, несколько по более сложной зависимости от кропа – но увеличится. То есть d уменьшится дважды!

Итак, на меньшей матрице масштаб изображения m1, чтобы он поместился в кадр, будет меньше в Kr раз, где Ка-эр – коэффициент кропирования. С какой дистанции придется снимать в этом случае объект, чтобы он поместился в кадр? Назовем эту дистанцию L1 и найдем ее.

m1=m/Kr = f/(L1 - f).

m(L1-f)=f*Kr

m*L1=f*Kr + m*f

L1=f*(Kr + m)/ m = f*(Kr/m + 1)

Если сравнить с полнокадровым вариантом, то получается, что L1 больше L. При кропе, например, 2 дистанция будет больше в 1,5 раза. Поскольку L = f*(1/m+1).

Посчитаем зависимость L1 от L.

L1= L * (Kr/m + 1)/ (1/m+1)= L * (Kr+m)/(1+m)

Вот с этой-то зависимостью можно переходить к расчету диаметра пятна нерезкости на кропнутой матрице (d1)

В формуле для L
d = D * (r/(L – r)) * m

надо заменить L на L1, а m на m1.

То есть

d1 = D * (r/(L – r)) * m = D * (r/(L*( (Kr+m)/(1+m)) - r))* m/Kr

Во сколько раз d1 будет меньше d? Если поделить d1 на d, то получится (это у меня самая простая форма, которую удалось получить):

d/d1 = Kr * (1 + L*(Kr-1)/((L-r)*(1+m)))

(от L1 и m1 мы избавились, выразив их через L, m и Kr.

То есть пятно нерезкости на полном кадре будет больше пятна нерезкости на кропе, но не пропорционально кропу, а более чем пропорционально, поскольку коэффициент кропирования участвует в формуле дважды.


При увеличении снимка (печатью или проекцией) эти пятна, очевидно, увеличатся во столько же раз, во сколько увеличен и сам объект. Размер пятен на отпечатке будет составлять

d' = d * M

где M - масштаб отпечатка (равный масштабу съемки, умноженному на увеличение при печати).

Для кропнутой матрицы M1 = M*Kr, т.е. увеличивать нужно больше – и при увеличении изображения увеличится и пятно нерезкости – увеличится пропорционально кроп-фактору. То есть разрыв в величине «пятна нерезкости» сократится, но не исчезнет, поскольку различие было не пропорциональное, а скорее квадратичное.

Легко посчитать, что в этом случае отношение диаметров пятен нерезкости будет:

d’ / d1’ = 1 + L*(Kr-1)/((L-r)*(1+m)))

Скажем при кропе 2 и масштабе (на полном кадре) 1:1 отношение диаметров будет

d’ / d1’ = 1 + L * /((L-r)*(2)))

r мало по сравнению с L, примерно отношение будет 3/2.

(можно избавиться от дистанции L, выразив ее через f и m, но в данном случае это не нужно).

То есть на отпечатке с кропа Олимпуса диаметр нерезких точек будет примерно в полтора раза меньше, чем на отпечатке с полного кадра.

Это мы рассмотрели только геометрическую составляющую проблемы нерезкости – то есть так будут выглядеть пятна нерезкости, полученные вместо точек не в фокусе, если они идеально зафиксированы светоприемником и идеально увеличены.

То есть сняв букашку на кроп и растянув ее, мы получим чуть меньшую размытость, чем при меньшем увеличении снимка с полного кадра.

- когда о нас, математиках, говорят, что мы сухари - это ложь! ложь! в любви я Эйнштейн!
...
- пойди нарисуй пару формул...
(с)

Цитата:

от:vashper
с подачи ув. miope сделал вывод, хорошо бы, чтобы он посмотрел. Значительная часть рассуждений - цитаты из его постов.


Итак, задача. Имеется макрообъектив, который может быть использован на разных аппаратах. И есть два аппарата – один например полнокадровый, второй кроп с кропфактором Kr. Снимаем объект на оба аппарата так, чтобы он занял весь кадр (во втором случае масштаб будет меньше), затем увеличиваем изображения до одного формата (техническую составляющую оставим в стороне). Будет ли на кроп-снимках больше глубина резкости?

Если мы сфокусировались на расстояние L от линзы (от передней главной плоскости, если быть точным; чтобы не усложнять, будем считать объектив тонкой линзой), то точечный объект, расположенный на расстоянии R, не равном L, будет изображен на пленке в виде пятнышка диаметром

d = D * ((L - R)/R) * (f/(L - f))

где D - диаметр линзы, а f - ее фокусное расстояние.

(R, видимо, ближе к объективу, чем L). Для упрощения вывода назовём расстояние (L-R) буковкой r. Это расстояние точечного объекта (например, лапка жучка) от точки фокусировки (его же, например, башочка).

С r формула получит следующий вид:

d = D * (r/(L - r)) * (f/(L - f))


Избавимся от фокусного расстояния в формуле. Отношение размера изображения к размеру объекта (масштаб) равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до объекта. Объект находится на расстоянии L, изображение, стало быть, на расстоянии 1/(1/f - 1/L). Делим одно на другое, получаем:

m = (1/(1/f - 1/L))/L = f/(L - f).

Теперь мы можем несколько упростить нашу формулу для расчета размера кружка нерезкости:

d = D * ((L - R)/R) * m

или (для расстояния точечного объекта от точки фокусировки – r)

d = D * (r/(L – r)) * m

Уже из этой формулы видно, что при изменении размера изображения будут меняться два параметра – масштаб m уменьшится пропорционально кропу, а L – расстояние до объекта – увеличится, несколько по более сложной зависимости от кропа – но увеличится. То есть d уменьшится дважды!

Итак, на меньшей матрице масштаб изображения m1, чтобы он поместился в кадр, будет меньше в Kr раз, где Ка-эр – коэффициент кропирования. С какой дистанции придется снимать в этом случае объект, чтобы он поместился в кадр? Назовем эту дистанцию L1 и найдем ее.

m1=m/Kr = f/(L1 - f).

m(L1-f)=f*Kr

m*L1=f*Kr + m*f

L1=f*(Kr + m)/ m = f*(Kr/m + 1)

Если сравнить с полнокадровым вариантом, то получается, что L1 больше L. При кропе, например, 2 дистанция будет больше в 1,5 раза. Поскольку L = f*(1/m+1).

Посчитаем зависимость L1 от L.

L1= L * (Kr/m + 1)/ (1/m+1)= L * (Kr+m)/(1+m)

Вот с этой-то зависимостью можно переходить к расчету диаметра пятна нерезкости на кропнутой матрице (d1)

В формуле для L
d = D * (r/(L – r)) * m

надо заменить L на L1, а m на m1.

То есть

d1 = D * (r/(L – r)) * m = D * (r/(L*( (Kr+m)/(1+m)) - r))* m/Kr

Во сколько раз d1 будет меньше d? Если поделить d1 на d, то получится (это у меня самая простая форма, которую удалось получить):

d/d1 = Kr * (1 + L*(Kr-1)/((L-r)*(1+m)))

(от L1 и m1 мы избавились, выразив их через L, m и Kr.

То есть пятно нерезкости на полном кадре будет больше пятна нерезкости на кропе, но не пропорционально кропу, а более чем пропорционально, поскольку коэффициент кропирования участвует в формуле дважды.


При увеличении снимка (печатью или проекцией) эти пятна, очевидно, увеличатся во столько же раз, во сколько увеличен и сам объект. Размер пятен на отпечатке будет составлять

d' = d * M

где M - масштаб отпечатка (равный масштабу съемки, умноженному на увеличение при печати).

Для кропнутой матрицы M1 = M*Kr, т.е. увеличивать нужно больше – и при увеличении изображения увеличится и пятно нерезкости – увеличится пропорционально кроп-фактору. То есть разрыв в величине «пятна нерезкости» сократится, но не исчезнет, поскольку различие было не пропорциональное, а скорее квадратичное.

Легко посчитать, что в этом случае отношение диаметров пятен нерезкости будет:

d’ / d1’ = 1 + L*(Kr-1)/((L-r)*(1+m)))

Скажем при кропе 2 и масштабе (на полном кадре) 1:1 отношение диаметров будет

d’ / d1’ = 1 + L * /((L-r)*(2)))

r мало по сравнению с L, примерно отношение будет 3/2.

(можно избавиться от дистанции L, выразив ее через f и m, но в данном случае это не нужно).

То есть на отпечатке с кропа Олимпуса диаметр нерезких точек будет примерно в полтора раза меньше, чем на отпечатке с полного кадра.

Это мы рассмотрели только геометрическую составляющую проблемы нерезкости – то есть так будут выглядеть пятна нерезкости, полученные вместо точек не в фокусе, если они идеально зафиксированы светоприемником и идеально увеличены.

То есть сняв букашку на кроп и растянув ее, мы получим чуть меньшую размытость, чем при меньшем увеличении снимка с полного кадра.

Подробнее

Рассмотрите пожалуйста и остальные составляющие,кроме геометрической,поскольку все эти выкладки,как воздух, нужны в практическом применении!!!

Да, уже табуреточек накидали немного в разных местах - в частности при макросъемке эффективная дырка меняется в зависимости от масштаба. Ну будем пересчитывать.
Сейчас miope ещё подтянется...

Ознакомился.

Цитата:

от: vashper
с подачи ув. miope сделал вывод, хорошо бы, чтобы он посмотрел.

Посмотрел.
Цитата:

от:vashper
...Уже из этой формулы видно, что при изменении размера изображения будут меняться два параметра – масштаб m уменьшится пропорционально кропу, а L – расстояние до объекта – увеличится, несколько по более сложной зависимости от кропа – но увеличится. То есть d уменьшится дважды!
...
Для кропнутой матрицы M1 = M*Kr, т.е. увеличивать нужно больше – и при увеличении изображения увеличится и пятно нерезкости – увеличится пропорционально кроп-фактору.

Подробнее

То есть все-таки меняется три параметра (если интересует степень размытости отпечатка), причем два из них - масштаб съемки и увеличение при печати - друг друга компенсируют. Так что об этих двух величнах можно сразу забыть, и смотреть только, как меняется L. Результат, естественно, будет тот же, а букв - меньше. По-моему, это не "упрощение", а как раз наоборот.
Цитата:

от: vashper
L1=f*(Kr + m)/ m = f*(Kr/m + 1)

Если сравнить с полнокадровым вариантом, то получается, что L1 больше L. При кропе, например, 2 дистанция будет больше в 1,5 раза. Поскольку L = f*(1/m+1).

При кропе 2 и масштабе 1:1.
Цитата:

от: vashper
То есть на отпечатке с кропа Олимпуса диаметр нерезких точек будет примерно в полтора раза меньше, чем на отпечатке с полного кадра.

Типа того. Иными словами, Olympus на f/16 даст ту же резкость, что и полнокадровая камера при f/22.
Цитата:

от:vashper
Это мы рассмотрели только геометрическую составляющую проблемы нерезкости – то есть так будут выглядеть пятна нерезкости, полученные вместо точек не в фокусе, если они идеально зафиксированы светоприемником и идеально увеличены.

То есть сняв букашку на кроп и растянув ее, мы получим чуть меньшую размытость, чем при меньшем увеличении снимка с полного кадра.

Подробнее

Угу. А если расмотреть еще и дифракцию, то оказывается, что Деда Мороза не существует: по мере увеличения ГРИП растет и дифракционное размытие. Так что если, как было сказано, у Olympys'а на f/16 получается такая же ГРИП, как и на полном кадре при f/22, то и дифракционное размытие в этих двух случаях получится одинаковое.

Радость от использования для макросъемки маленькой матрицы только в том, что там, где Olympus'ом можно снимать в масштабе 1:1, полнокадровой камерой нужно снимать в масштабе 2:1, то есть наворачивать на объектив 100 мм колец. То есть картинки резче не становятся, но жизнь весьма упрощается.